SZORZÓ · HETI FELADATLAP · 6. HÉT
a nyolcadikos központi matematika írásbeli felépítésében
10 feladat · 45 perc · 50 pont
szorzo.hu/feladatlap · a gyereknek: szorzo.hu/jatek
Számológép nem használható. Toll, vonalzó, körző használható. Írd le a megoldás menetét: a többpontos részeknél a helyes gondolatmenetre akkor is jár pont, ha a végeredmény hibás. A végeredményt a vonalra írd; ha az eredménynek van mértékegysége, de a vonal után nincs kiírva, azt is írd a vonalra.
Név:Dátum:Elért pont: ______ / 50
1.
Számítsd ki, és add meg tovább nem egyszerűsíthető alakban!
a) 89 − 19 : 23 = ?
b) (310 + 14) : 38 = ?
a)b)
a)2
b)2
2.
Váltsd át!
a) 890 dm² = … m²
b) 3,1 dm³ = … cm³
c) 1,1 óra = … óra … perc
a)m²b)cm³c)óraperc
a)1
b)1
c)1
3.
Számítsd ki!
a) −9 · 7 + 15 : (−3) = ?
b) (3 − 9) · (2 − 7) − 8² = ?
a)b)
a)2
b)2
4.
Egy medencét 8 egyforma szivattyú 4 óra alatt tölt meg.
a) Hány óra alatt töltené meg a medencét 5 ilyen szivattyú?
b) Legalább hány ilyen szivattyú kell ahhoz, hogy a medence legfeljebb 3 óra alatt megteljen?
a)órab)szivattyú
a)2
b)3
5.
A táblázat azt mutatja, hány szendvicset adtak el egy iskolai büfében a hét egyes napjain. A büfé hétfőtől péntekig van nyitva.
a) Hány szendvics fogyott összesen a héten, és mennyi volt a napi átlag?
b) Mely napokon adtak el az átlagnál több szendvicset?
c) A héten eladott szendvicsek hány százaléka fogyott el kedden?
naphétfőkeddszerdacsütörtökpéntek
eladott szendvics (db)3024133523
a) összesen:dbátlag:dbb)c)%
a)2
b)1
c)2
6.
Egy sporttáska árát 20%-kal csökkentették, így az ára 7 680 Ft lett.
a) Mennyi volt a sporttáska eredeti ára?
b) Később a leárazott árat 25%-kal megemelték. Mennyi lett az új ár, és hány százaléka ez az eredeti árnak?
a)Ftb) új ár:Ftb) az eredeti ár%-a
a)2
b)3
7.
Az ABC háromszögben AC = BC, és az ACB szög 80°. Az A csúcsnál lévő belső szög szögfelezője a BC oldalt a D pontban metszi.
a) Mekkora a BAC szög?
b) Mekkora a BAD szög?
c) Mekkora az ADC szög?
ABCD80°
a)°b)°c)°
a)1
b)1
c)2
8.
A 0, 1, 5, 6, 7, 8 számjegyekből háromjegyű számokat képezünk.
a) Hány különböző háromjegyű szám képezhető, ha minden számjegy legfeljebb egyszer szerepelhet?
b) Ezek közül hány osztható 5-tel?
c) Hány 5-tel osztható háromjegyű szám képezhető, ha a számjegyek ismétlődhetnek?
a)b)c)
a)2
b)2
c)2
9.
Egy apa és a lánya életkorának összege most 56 év. Az apa 6 év múlva éppen háromszor olyan idős lesz, mint a lánya.
a) Hány éves most a lány?
b) Hány éves most az apa?
c) Hány év múlva lesz az apa éppen kétszer olyan idős, mint a lánya?
a)évesb)évesc)év múlva
a)4
b)1
c)2
10.
Az osztálypénz 38 részét a kirándulás buszára fizették ki, a maradék 15 részét a belépőkre, az ezután megmaradt pénz 10%-át pedig az ebédre. Végül 9 000 Ft maradt.
a) Mennyi volt az osztálypénz?
b) Mire fizettek ki a legtöbbet, és mennyit?
c) Az osztálypénz hány százaléka maradt meg?
a)Ftb) mire:b) mennyit:Ftc)%
a)4
b)2
c)1
SZORZÓ · MEGOLDÓKULCS · 6. HÉT
A szülőnek. A részfeladatok pontszámát a kulcs adja. Ha a végeredmény hibás, de a gondolatmenet helyes, a részfeladat pontjainak egy része adható; az egypontos részeknél csak a jó eredmény ér pontot. Más helyes úton kapott jó eredmény teljes pontot ér.
50 pont
1.
Törtek
a) 1318 (2 pont)
b) 2215 = 1 715 (2 pont)
  1. a) Előbb az osztás. Törttel úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk: 19 : 23 = 19 · 32 = 318; 3-mal egyszerűsítve: 318 = 16. Utána a kivonás. A közös nevező 18. Bővítünk: 89 = 1618 (2-vel); 16 = 318 (3-mal). 1618 − 318 = 1318.
  2. b) Előbb a zárójel. A közös nevező 20. Bővítünk: 310 = 620 (2-vel); 14 = 520 (5-tel). 620 + 520 = 1120. Utána az osztás. Törttel úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk: 1120 : 38 = 1120 · 83 = 8860; 4-gyel egyszerűsítve: 8860 = 2215 = 1 715.
Tipikus hiba: az a) részben balról jobbra haladva előbb kivon: (89 − 19) : 23 = 76 = 1 16 jönne ki 1318 helyett; pedig az osztás előbb jön, mint a kivonás.
4 pont
2.
Mértékegység
a) 8,9 m² (1 pont)
b) 3 100 cm³ (1 pont)
c) 1 óra 6 perc (1 pont)
  1. a) 1 m² = 100 dm² (1 m = 10 dm, és 10 · 10 = 100), ezért 100-zal osztunk. 890 : 100 = 8,9.
  2. b) 1 dm³ = 1 000 cm³ (1 dm = 10 cm, és 10 · 10 · 10 = 1 000), ezért 1 000-rel szorzunk. 3,1 · 1 000 = 3 100.
  3. c) 1,1 óra = 1 óra + 0,1 óra, és 0,1 óra = 0,1 · 60 perc = 6 perc, tehát 1 óra 6 perc.
Tipikus hiba: a c) részben az 1,1 órát 1 óra 10 percnek olvassa (helyesen 0,1 óra = 6 perc).
3 pont
3.
Számolás
a) −68 (2 pont)
b) −34 (2 pont)
  1. a) Előbb a szorzás és az osztás: −9 · 7 = −63; 15 : (−3) = −5, mert pozitív és negatív szám hányadosa negatív. Végül az összeadás: −63 + (−5) = −68.
  2. b) Előbb a zárójelek: 3 − 9 = −6; 2 − 7 = −5. Utána a hatványozás: 8² = 64. A szorzás: (−6) · (−5) = 30, mert két negatív szám szorzata pozitív. Végül a kivonás: 30 − 64 = −34.
Tipikus hiba: az a) részben a 15 : (−3) hányadost pozitívnak veszi, így −63 + 5 = −58 jönne ki −68 helyett.
4 pont
4.
Arányosság
a) 6,4 óra = 6 óra 24 perc (2 pont)
b) 11 szivattyú (3 pont)
Adatok: 8 szivattyú: 4 óra; kérdés: 5 szivattyú, illetve legfeljebb 3 óra
Megoldás:
  1. a) Több szivattyú rövidebb idő alatt végez: a szivattyúk száma és az idő fordítottan arányos. 1 szivattyú egyedül 8 · 4 = 32 óra alatt töltené meg, 5 szivattyú 32 : 5 = 6,4 óra alatt.
  2. b) 10 szivattyú 3 óra alatt annyit végez, mint 1 szivattyú 10 · 3 = 30 óra alatt; ez kevesebb, mint 32 óra, tehát kevés. 11 szivattyú 3 óra alatt annyit végez, mint 1 szivattyú 11 · 3 = 33 óra alatt; ez már több, mint 32 óra, tehát elég. Legalább 11 szivattyú kell.
Válasz:
  • a) 5 szivattyú 6,4 óra alatt töltené meg a medencét.
  • b) Legalább 11 szivattyú kell.
Tipikus hiba: az a) részben egyenes arányossággal számol: 4 : 8 · 5 = 2,5 óra jönne ki; pedig kevesebb szivattyúnak több idő kell, tehát 4 óránál több jön ki.
5 pont
5.
Táblázat, grafikon
a) összesen: 125 db; átlag: 25 db (2 pont)
b) hétfő, csütörtök (1 pont)
c) 19,2% (2 pont)
Adatok: napi eladások: a táblázatban (5 nap, hétfőtől péntekig)
Megoldás:
  1. a) 30 + 24 + 13 + 35 + 23 = 125; az átlag 125 : 5 = 25.
  2. b) Az átlag 25; ennél több: hétfő (30), csütörtök (35).
  3. c) 24 : 125 = 0,192, ez 19,2%.
Válasz:
  • a) A héten összesen 125 szendvics fogyott, naponta átlagosan 25.
  • b) Az átlagnál többet adtak el: hétfőn, csütörtökön.
  • c) A héten eladott szendvicsek 19,2%-a kedden fogyott el.
Tipikus hiba: a c) részben a hányadost nem szorozza 100-zal, és 0,192%-ot ír 19,2% helyett.
5 pont
6.
Százalékszámítás
a) 9 600 Ft (2 pont)
b) új ár: 9 600 Ft; az eredeti ár 100%-a (3 pont)
Adatok: leárazás: 20%; leárazott ár: 7 680 Ft; emelés a leárazott árra: 25%
Megoldás:
  1. a) 1. ár: az eredeti, 2. ár: a leárazott, 3. ár: az emelt. A 20%-os csökkentés után az 1. ár 80%-a marad: 1. ár · 0,8 = 7 680, ezért 1. ár = 7 680 : 0,8 = 9 600 Ft. Ellenőrzés: 9 600 · 0,8 = 7 680.
  2. b) 3. ár = 2. ár · 1,25 = 7 680 · 1,25 = 9 600 Ft. Az eredetihez viszonyítva: 9 600 : 9 600 = 1, ez 100%.
Válasz:
  • a) A sporttáska eredeti ára 9 600 Ft volt.
  • b) Az új ár 9 600 Ft; ez az eredeti ár 100%-a.
Másik út: a) A 7 680 Ft az eredeti ár 80%-a. Az eredeti ár 1%-a 7 680 : 80 = 96 Ft, a 100%-a 96 · 100 = 9 600 Ft. b) A két változás együtt: 0,8 · 1,25 = 1, vagyis az új ár az eredeti 100%-a.
Tipikus hiba: az a) részben a leárazott árhoz adja hozzá a 20%-ot: 7 680 · 1,2 = 9 216 Ft jönne ki 9 600 Ft helyett; pedig a 20% az eredeti ár része, nem a leárazotté.
5 pont
7.
Geometria
a) 50° (1 pont)
b) 25° (1 pont)
c) 75° (2 pont)
  1. a) AC = BC, ezért a háromszög egyenlő szárú, és az alapon fekvő két szöge egyenlő: a BAC és az ABC szög is (180° − 80°) : 2 = 50°.
  2. b) Az AD szögfelező a BAC szöget két egyenlő részre osztja: 50° : 2 = 25°.
  3. c) Az ACD háromszögben a CAD szög 25° (a szögfelező miatt akkora, mint a BAD szög), az ACD szög 80°, így az ADC szög 180° − 25° − 80° = 75°.
Másik út: c) Az ABD háromszögben a BAD szög 25°, az ABD szög 50°, így az ADB szög 180° − 25° − 50° = 105°, és az ADC szög ennek mellékszöge: 180° − 105° = 75°.
Tipikus hiba: a c) részben a szögfelezőt merőlegesnek veszi a BC oldalra, és 90°-ot ír; pedig az A csúcsból induló szögfelező itt nem merőleges a BC-re (az ADC szög 75°).
4 pont
8.
Kombinatorika
a) 100 (2 pont)
b) 36 (2 pont)
c) 60 (2 pont)
Adatok: számjegyek: 0, 1, 5, 6, 7, 8
Megoldás:
  1. a) Az első helyre a 0 nem kerülhet, így oda 5 jegy kerülhet. A középső helyre a maradék 5 jegy (a 0 is), az utolsóra 4 jegy kerülhet, így 5 · 5 · 4 = 100.
  2. b) 5-tel osztható számnál az utolsó jegy 0 vagy 5. Két esetet nézünk. Ha az utolsó jegy 0, akkor az első helyre 5, a középsőre 4 jegy marad, így 5 · 4 = 20. Ha az utolsó jegy 5 (1 lehetőség), akkor az első helyre sem a 0, sem az 5 nem kerülhet, így oda 4 jegy kerülhet; a középsőre a maradék 4 jegy (a 0 is) kerülhet, így 1 · 4 · 4 = 16. Összesen 20 + 16 = 36.
  3. c) Az utolsó helyre 2 jegy kerülhet (0 vagy 5), az első helyre a 0 kivételével bármelyik, vagyis 5 jegy, a középsőre mind a 6, így 5 · 6 · 2 = 60.
Válasz:
  • a) 100 különböző háromjegyű szám képezhető.
  • b) Ezek közül 36 osztható 5-tel.
  • c) Ha a számjegyek ismétlődhetnek, 60 olyan háromjegyű szám képezhető, amely osztható 5-tel.
Tipikus hiba: a b) részben nem figyel arra, hogy a 0 nem kerülhet az első helyre, és az utolsó jegy kiválasztása után az első helyre 5 jegyet számol: 2 · 5 · 4 = 40 jönne ki 36 helyett.
6 pont
9.
Szöveges feladat
a) 11 éves (4 pont)
b) 45 éves (1 pont)
c) 23 év múlva (2 pont)
Adatok: az életkoruk összege most: 56 év; 6 év múlva: az apa háromszor olyan idős, mint a lánya
Megoldás:
  1. a) 6 év múlva mindketten 6 évvel idősebbek lesznek, ezért az életkoruk összege 56 + 2 · 6 = 68 év lesz. Akkor az apa háromszor olyan idős lesz, mint a lánya: a lány 1 rész, az apa 3 rész, együtt 4 egyenlő rész. Egy rész 68 : 4 = 17, tehát a lány 6 év múlva 17 éves lesz, most 17 − 6 = 11 éves.
  2. b) Az apa most 56 − 11 = 45 éves. Ellenőrzés: 6 év múlva az apa 51, a lány 17 éves lesz, és 51 = 3 · 17.
  3. c) A korkülönbség 45 − 11 = 34 év, és ez nem változik. Amikor az apa kétszer olyan idős, mint a lánya, a különbség éppen a lány életkora, vagyis a lány akkor 34 éves; ez 34 − 11 = 23 év múlva lesz. Ellenőrzés: akkor az apa 68 éves, és 68 = 2 · 34.
Válasz:
  • a) A lány most 11 éves.
  • b) Az apa most 45 éves.
  • c) 23 év múlva lesz az apa éppen kétszer olyan idős, mint a lánya.
Másik út: a) Egyenlettel: ha a lány most x éves, az apa 56 − x éves. 6 év múlva: 56 − x + 6 = 3 · (x + 6) → 62 − x = 3x + 18 → 44 = 4x → x = 11.
Tipikus hiba: az a) részben a 6 évet csak egyszer adja hozzá az összeghez (56 + 6 = 62), pedig mindketten 6 évvel lesznek idősebbek: 56 + 2 · 6 = 68.
7 pont
10.
Többlépéses szöveges
a) 20 000 Ft (4 pont)
b) a buszra, 7 500 Ft (2 pont)
c) 45% (1 pont)
Adatok: 1. összeg: az osztálypénz; 2. összeg: ami a busz után maradt; 3. összeg: ami a belépők után maradt; 4. összeg: ami az ebéd után maradt, 9 000 Ft; busz: az 1. összeg 38 része; belépők: a 2. összeg 15 része; ebéd: a 3. összeg 10%-a
Megoldás:
  1. a) Visszafelé számolunk, a 4. összeg 9 000 Ft. Az ebédre a 3. összeg 10%-át fizették ki, így 90%-a maradt: ez a 4. összeg, 9 000 Ft. A 3. összeg 90%-a 9 000, ezért 1%-a 9 000 : 90 = 100, a 3. összeg 100 · 100 = 10 000. A belépőkre a 2. összeg 15 részét fizették ki, így 45 része maradt: ez a 3. összeg, 10 000 Ft. A 2. összeg 45 része 10 000, ezért 15 része 10 000 : 4 = 2 500, a 2. összeg 2 500 · 5 = 12 500. A buszra az osztálypénz (1. összeg) 38 részét fizették ki, így 58 része maradt: ez a 2. összeg, 12 500 Ft. Az 1. összeg 58 része 12 500, ezért 18 része 12 500 : 5 = 2 500, az 1. összeg 2 500 · 8 = 20 000.
  2. b) Előre számolva (ez egyben az ellenőrzés): busz: 20 000 · 38 = 7 500, marad 12 500; belépők: 12 500 · 15 = 2 500, marad 10 000; ebéd: 10 000 · 0,1 = 1 000, marad 9 000. A legnagyobb tétel: a buszra, 7 500 Ft.
  3. c) 9 000 : 20 000 = 0,45, ez 45%.
Válasz:
  • a) Az osztálypénz 20 000 Ft volt.
  • b) A legtöbbet a buszra fizették ki, 7 500 Ft-ot.
  • c) Az osztálypénz 45%-a maradt meg.
Tipikus hiba: az a) részben visszafelé a 9 000 Ft-hoz hozzáadja a 10%-ot: 9 000 · 1,1 = 9 900 jönne ki 10 000 helyett; pedig a 10% az ebéd előtti pénz része, ezért 9 000 : 0,9 = 10 000.
7 pont